ทฤษฎีบทของ Bell – ทำสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ให้เป็นไปได้ v2

Bell_50th_anniversay_nature

ภาพจาก CERN

17 พ.ย.: v2

ในโพสท์นี้เราอยากจะแนะนำทฤษฎีบทที่ถูกเรียกว่า “การค้นพบที่ลึกซึ้งที่สุดในวิทยาศาสตร์” (“The most profound discovery of science“) ที่เราคงจะอ้างถึงอยู่เรื่อยๆในบล็อกนี้ “ทฤษฎีบทของ Bell” ผลงานก้องโลกที่จะมีอายุครบ 50 ปีในปลายปีนี้ของนักฟิสิกส์ชาวไอริช John Stewart Bell (1928-1990) จาก CERN (รูปถ่ายด้านบน)

ทฤษฎีบทของ Bell

ทฤษฎีบทของ Bell เสนอวิธีการทดลองที่สามารถตัดสินได้ว่าสามัญสำนึกบางอย่างขัดแย้งกับธรรมชาติได้ดังต่อไปนี้ สมมติว่ามีเครื่องมืออยู่สองเครื่อง แต่ละเครื่อง (A และ B) เมื่อรับวัตถุมาแล้วสามารถเลือกวัดคุณสมบัติ, x ของ A และ y ของ B, ของวัตถุได้หนึ่งในสองคุณสมบัติ (x=1 หรือ 2, y=1 หรือ 2) และผลการวัด, a ของ A และ b ของ B, เป็นไปได้สองค่า (a=1 หรือ 2, b=1 หรือ 2) เราท้าให้หาวัตถุสองวัตถุที่เมื่อนำวัตถุหนึ่งไปให้ A วัดและอีกวัตถุไปให้ B วัดแล้วมีโอกาสมากกว่า 3/4 ที่

a = b เมื่อ x = 1 และ y = 1

a = b เมื่อ x = 2 และ y = 1

a = b เมื่อ x = 2 และ y = 2

แต่ a ≠ b เมื่อ x = 1 และ y = 2

โดยมีข้อแม้ว่าเครื่องวัดจะทำการสุ่มเลือกคุณสมบัติที่จะวัดเอง (ด้วยโอกาสครึ่งต่อครึ่ง) แล้วทำการวัดทันทีพร้อมกันทั้งสองเครื่องเพื่อป้องกันไม่ให้เราตั้งโปรแกรมในวัตถุทั้งสองล่วงหน้าให้รอดูว่าทั้งสองเครื่องเลือกที่จะวัดอะไรแล้วจึงค่อยสื่อสารตกลงว่าจะบอกผลอะไรกัน เราจะเขียนแทนโอกาสนี้ว่า Pw
ก่อนอื่นสังเกตว่าถ้าคุณสมบัติที่ถูกเลือกวัดของแต่ละวัตถุกำหนดผลการวัดสำหร้บวัตถุนั้นตายตัวก็ไม่มีทางที่จะทำตามคำท้าได้สำเร็จ 100% เพราะสามเงื่อนไขแรกกับเงื่อนไขสุดท้ายนั้นขัดแย้งกัน วิธีหนึ่งที่ทำให้ได้โอกาส 3/4 พอดีก็คือหาสองวัตถุที่มีคุณสมบัติที่ให้ค่าเดียวกันเมื่อถูกวัดเสมอไม่ว่าจะวัดอะไรเพราะมีโอกาสพลาดแค่ 1/4 เมื่อ x = 1 และ y = 2 ถ้าลองคิดดูก็จะพบว่านี่เป็นวิธีที่ให้โอกาสสูงสุดแล้วและการสุ่มเลือกคำตอบไม่ช่วยอะไร แต่ทว่าความประหลาดมันอยุ่ตรงนี้: ตามทฤษฎีควอนตัมแล้ววัตถุสองวัตถุสามารถอยู่ในสถานะที่ทำให้ Pw มากกว่า 3/4 ได้ นี่คือทฤษฎีบทของ Bell: ทฤษฎีควอนตัมดูเหมือนจะทำสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ให้เป็นไปได้

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการยืนยันจากการทดลองหลายต่อหลายครั้งตั้งแต่ปี 1972 และจากหลายกลุ่มทดลอง (การทดลองล่าสุดจากกลุ่ม Zeilinger ได้ผลที่ผิดจากคำทำนายของสามัญสำนึกถึง 69 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน!) ที่ถึงทุกแม้จะการทดลองที่ผ่านมาจะมี “loophole” ช่องโหว่จากความไม่สมบูรณ์ของการทดลองซึ่งคนกำลังไล่ปิดให้หมดในเร็วๆนี้ แต่ก็เป็นหลักฐานที่แน่นหนาว่าธรรมชาติเป็นไปตามที่ทฤษฎีควอนตัมทำนายจริงๆ [1]

คำถามสำคัญก็คือทำไม? ทำไมทฤษฎีควอนตัมที่ไม่ยอมให้ส่งสัญญาณเร็วกว่าจึงยอมให้เกิดปรากฎการณ์ที่ผิดจากสามัญสำนึกที่ใช้ได้เสมอๆในการทำความเข้าใจธรรมชาติของมนุษย์ตั้งแต่เริ่มมีวิทยาศาสตร์ขึ้นมาได้? มีสมมติฐานอะไรในลำดับการให้เหตุผลด้านบนที่ใช้กับทฤษฎีควอนตัมไม่ได้?

สมมติฐานของทฤษฎีบท

[W]hat is proved by impossibility proofs is lack of imagination.

J. S. Bell. On the impossible pilot wave

สมมติฐานที่นำไปสู่ทฤษฎีบทของ Bell มีได้มากมายแล้วแต่อยากจะขุดคุ้ย preconception ขึ้นมากันขนาดไหน

1. ผลการวัดที่เกิดขึ้นมีผลเดียว (ไม่จริงในการตีความแบบ Many-Worlds)

2. เราสามารถสุ่มเลือกคุณสมบัติที่จะวัดได้ สมมติฐานนี้มักจะถูกเรียกว่าเจตจำนงค์อิสระ (free will) ซึ่งไม่เกี่ยวกับจำนงค์อิสระของมนุษย์สักเท่าไรเพราะให้เครื่องจักรสุ่มก็ได้อย่างที่เราเขียนด้านบน (ไม่จริงถ้าเอกภพนั้น “superdeterministic” คือทุกอย่าง conspire กันให้การทดลองเป็นไปตามทฤษฎีฟิสิกส์ที่เรารู้ ให้ทฤษฎีบทของ Bell ได้รับการยืนยัน ถึงแม้ว่ามันจะไม่ได้เป็นอย่างนั้นจริงๆ)

3. ไม่มีการส่งสัญญาณเร็วกว่าแสง (no signaling)

เราจะยอมรับสามสมมติฐานนี้ สมมติฐานอื่นๆที่คนพูดถึงกันก็มีอย่าง counterfactual definiteness, separability etc. แต่ส่วนตัวเราไม่เข้าใจมันถ่องแท้พอที่จะโยงจากเรื่องที่กำลังพูดกันอยุ่ไปถึง

สมมติฐานที่สำคัญที่สุดสำหรับ Bell ก็คือการมีอยู่ของสาเหตุร่วม (common cause) ของพฤติกรรมที่สัมพันธ์กันของวัตถุสองฝั่งหรือที่เราใช้คำว่า “โปรแกรม” นั่นเอง ซึ่ง Bell เองได้ให้คำอธิบายไว้ดังนี้ [2]: เหตุการณ์สองเหตุการณ์ถึงแม้จะอยู่ห่างกันเกินกว่าจะส่งผลถึงกันได้ก็อาจมีความสัมพันธ์กันได้เหมือนในสถานการณ์ของ A และ B ข้างต้น

P(a,b|x,y)\neq P(a|x)P(b|y)

หาก P(·|·) คือความน่าจะเป็นของตัวแปรซ้ายเมื่อรู้ค่าของตัวแปรขวา เราอาจจะบอกว่าความสัมพันธ์ไม่ได้มีเหตุผลอะไรเป็นพิเศษ เรียกว่าเป็นเรื่องบังเอิญ แต่พันธกิจของวิทยาศาสตร์คือการให้คำอธิบายกับความสัมพันธ์ต่างๆ และเราหวังได้ว่าหากเรารวบรวมเอาปัจจัยที่สามารถจะส่งผลต่อ a และ b ทั้งหมดได้แล้ว (รวม quantum state ด้วยก็ได้) เรียกว่า λ เราจะพบว่ามีสาเหตุร่วมอยุ่ใน λ:

P(a,b|x,y,\lambda) = P(a|x,\lambda)P(b|y,\lambda)

การแยกตัวประกอบของความน่าจะเป็นแบบนี้คือหลักการที่ Bell เรียกว่า local causality ที่ป้องกันไม่ให้เราทำตามคำท้าได้ ปัญหาที่ทำให้ทฤษฎีควอนตัมไม่เคารพหลักนี้ก็คือโอกาสที่จะได้ค่า a อาจขึ้นกับผลของการวัด b ถึงแม้เราจะรู้ทุกอย่างที่ทฤษฎีควอนตัมบอกเราได้แล้ว! [3]

แบบฝึกหัดสำหรับคนที่อ่านผ่านๆ นาย Bertlmann ไม่เคยใส่ถุงเท้าสองข้างสีเดียวกัน วันหนึ่งบังเอิญเจอเขาเดินออกจากมุมตึก (ตามภาพ) และเห็นว่าถุงเท้าข้างซ้ายเป็นสีชมพู  เราจึงรู้ทันทีว่าถุงเท้าข้างขวาไม่ใช่สีชมพู ความสัมพันธ์ระหว่างถุงเท้าสองข้างของนาย Bertlmann เป็นไปตามหลัก local causality หรือไม่?

ทั้งหมดนี้หมายความว่าหากการที่วัตถุหนึ่งบอกคุณสมบัติของตัวเองให้กับ B ส่งผลต่อคุณสมบัติ a แล้วล่ะก็ผลนั้นจะต้องเดินทางด้วยความเร็วที่ไม่จำกัด หากต้องการจะหลีกเลี่ยงข้อสรุปนี้ก็ต้องปฏิเสธความเชื่อมโยงกันระหว่างผลกับเหตุของสองเหตุการณ์นี้ เท่ากับยอมรับว่ามีเหตุการณ์ที่สัมพันธ์กันโดยไม่มีสาเหตุ นี่คือตัวเลือกที่ทฤษฎีควอนตัมยื่นให้แก่เรา ถ้าเลือกอย่างแรกก็ต้องอธิบายว่าแล้วทำไมธรรมชาติจึงยอมการเคลื่อนที่ที่เร็วกว่าแสงแต่ในปริมาณที่พอดีไม่มากพอที่จะทำให้เราเห็นมันได้ ถ้าเลือกอย่างหลังก็ต้องอธิบายกับตัวเองว่าทำไมถึงยังศึกษาวิทยาศาสตร์อยู่ แต่ไม่ว่าจะเลือกตัวเลือกไหนทฤษฎีบทของ Bell ก็บังคับให้ต้องยอมรับว่ามีความสัมพันธ์ในธรรมชาติที่ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยคอนเซปต์ในวิทยาศาสตร์ดั้งเดิมได้

ที่เขียนมาอาจจะไม่เหมือนกับทฤษฎีบทของ Bell ที่เคยได้ยินกัน ว่ามันบังคับให้เลือกระหว่าง “locality” กับทฤษฎีที่ลึกกว่าควอนตัมลงไปอีก ที่ถ้ารู้จะทำให้สามารถทำนายทุกอย่างได้โดยไม่ต้องใช้ความน่าจะเป็น (“hidden variables”) สำหรับคนที่สงสัยเราก็อยากแนะนำให้อ่าน The two Bell’s theorems of John Bell ของ Howard Wiseman กันเพื่อจะได้เห็นความซับซ้อนของข้อโต้แย้งในเรื่องนี้: นิยามคำว่า “locality” ของ “operationalists” กับ “realists” ต่างกันอย่างไร? ทฤษฎีบทของ Bell เป็นบทกลับของข้อพิสูจน์ของ Einstein, Podolsky, Rosen หรือไม่?

Bell’s theorem still reverberates

As Bell proved in 1964, this leaves two options for the nature of reality. The first is that reality is irreducibly random, meaning that there are no hidden variables that “determine the results of individual measurements.” The second option is that reality is ‘non-local’, meaning that “the setting of one measuring device can influence the reading of another instrument, however remote.”

Most physicists are localists: they recognize the two options but choose the first, because hidden variables are, by definition, empirically inaccessible. Quantum information scientists embrace irreducible randomness as a resource for secure cryptography. Other physicists and philosophers (the ‘non-localist camp’) dispute that there are two options, and insist that Bell’s theorem mandates non-locality.

The contradictory claims by the two camps… arise because they mean different things by ‘Bell’s theorem’ and different things by ‘local’ (or ‘non-local’). For localists, Bell’s theorem is the 1964 one, and the preferred choice is to keep locality and forgo hidden variables. For non-localists, Bell’s theorem is (or should be) the 1976 one, which leaves no choice but to forgo local causality.

But one can go further, by recalling that local causality rests on two principles: Einstein’s principle of relativistic causality, and the principle of common cause. Thus Bell’s 1976 theorem can be restated as: either causal influences are not limited to the speed of light, or events can be correlated for no reason.

Beyond Bell

Once we have bitten the quantum apple, our loss of innocence is permanent.

R. Shankar. Principles of Quantum Mechanics

ทำนองเดียวกันกับความไม่แน่นอนของ Heisenberg ที่ปฏิเสธไม่ให้เรารู้ค่าของสองคุณสมบัติเช่นตำแหน่งและโมเมนตัมโดยปราศจากความคลาดเคลื่อนได้, ทฤษฎีบทของ Bell เหมือนจะบังคับให้เราต้องสูญเสียสามัญสำนึกบางอย่างในโลกควอนตัม แต่สิ่งที่แลกได้มาก็คือความสามารถที่เหนือจินตนาการในโลกดั้งเดิม ทฤษฎีบทของ Bell สามารถนำไปประยุกต์โดยตรงได้ในการสื่อสารและ cryptography [4] แต่ในปัจจุบันเรารู้แล้วว่าเราทำได้มากกว่านั้น เราสามารถเข้าถึงการประมวลผลข้อมูลแบบใหม่ที่ศึกษากันภายใต้ศาสตร์ที่เรียกว่า quantum information science ที่เชื่อมต่อระหว่างฟิสิกส์ วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ วิศวกรรม และอาจส่งผลกระทบถึงเคมีและชีววิทยาในลักษณะเดี่ยวกับที่ฟิสิกส์ทำมาแล้ว ตัวอย่างสิ่งที่ได้จาก quantum information science ก็มีการวัดที่แม่นยำสุดๆ (ที่ฟังดูขัดแย้งกับความไม่แน่นอนในทฤษฎีควอนตัม) และควอนตัมคอมพิวเตอร์ที่อาจจะล้มล้าง “Extended Church-Turing Thesis” ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้ ซึ่งจะเรียกว่าเป็นฟิสิกส์ประยุกต์ก็ว่าได้แต่สิ่งที่น่าตื่นเต้นที่สุดสำหรับเราก็คือไอเดียที่ไปจากฟิสิกส์สู่ทฤษฎีสารสนเทศและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้ย้อนกลับมายังฟิสิกส์ การวัดอย่างแม่นยำสุดๆและควอนตัมคอมพิวเตอร์ทำได้ยากมาก ความจริงคือยังไม่มีใครทำได้ ซึ่งความยากนี้อาจจะเกี่ยวข้องกับประสบการณ์ของทุกๆคนว่าความแปลกของควอนตัมไม่เคยปรากฎให้เห็นโดยตรงในชีวิตประจำวันเลย ถ้าควอนตัมคอมพิวเตอร์ไม่ใช่แค่สร้างได้ยากแต่เป็นไปไม่ได้แล้วกฎของธรรมชาติ(ใหม่!)แบบไหนที่ห้ามมัน? เหตุผลที่ธรรมชาติเลือกทฤษฎีควอนตัมเป็นทฤษฎีพื้นฐานของสรรพสิ่งเป็นเพราะความสามารถในการประมวลผลข้อมูลของมันหรือไม่?

อรรถาธิบาย

[1] ที่อธิบายไปคืออสมการ CHSH ซึ่งยอมความคลาดเคลื่อนในการทดลองได้ เขียนในรูปของ nonlocal game (ดูรีวิว [4]) อสมการที่ Bell เขียนครั้งแรกนั้นต้องการ perfect anti-correlation ของสปินใน singlet state 
[2] J. S. Bell. Bertlmann’s socks and the nature of reality ใน Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge. 1987 
[3] แน่นอนว่าไม่สามารถใช้ส่งสัญญาณเร็วกว่าแสงได้เพราะถ้าฝั่ง B ไม่บอก ฝั่ง A ก็ไม่รู้ค่า b. Reduced density operator จัดการตรงนี้ให้โดยอัตโนมัติ
[4] N. Brunner et al. Bell Nonlocality. Rev. Mod. Phys. 86, 419, April 2014
[5] H. M. Wiseman. The Two Bell’s Theorem of John Bell. J. Phys. A: Math. Theor. 47 424001, October 2014
[6] S. Goldstein et al. Bell’s theorem. Scholarpedia, 6(3):8378. 2011