เคลื่อนย้ายไร้สัมผัสเชิงควอนตัม (quantum teleportation)ในรูปภาพ

อะไรจะเกิดขึ้นถ้านักวิทยาศาสตร์ใช้แผนภาพเทนเซอร์ (tensor diagram) แทนที่พีชคณิตเชิงเส้นในการทำความเข้าใจทฤษฎีควอนตัมแทน? การค้นพบการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัสอาจจะง่ายกว่านี้ก็ได้

คำเตือน: โพสท์นี้สำหรับคนที่รู้จักทฤษฎีควอนตัมและเทนเซอร์อยู่แล้ว

หนึ่งในสิ่งแรกๆที่จะเจอถ้าศึกษาวิทยาการข้อมูลเชิงควอนตัมก็คือ ถ้ามีหนึ่งใน Bell state |\Phi^+ \rangle = |00\rangle + |11\rangle , เราสามารถส่งหนึ่งคิวบิต (qubit) แทนสองบิตและในทางกลับกันส่งสองบิตแทนหนึ่งคิวบิตได้ เป็นที่รู้จักกันในนามของการเข้ารหัสอย่างหนาแน่น (dense coding) และการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัส (teleportation) ตามลำดับ จึงสามารถมองการเข้ารหัสอย่างหนาแน่นและการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัสเป็นวิธีการสื่อสารที่ตรงข้ามกันได้

การเข้ารหัสอย่างหนาแน่นนั้นเข้าใจได้ไม่ยากเพราะ Hilbert space ของสองคิวบิตมีสี่มิติและสิ่งที่ผู้ส่งทำก็คือเข้าหนึ่งในสี่รหัสในหนึ่งในสี่มิตินั้น ซึ่งผู้รับสามารถแยะแยะแต่ละมิติได้อย่างแน่นอน ในขณะที่คำอธิบายปกติของการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัสเชิงควอนตัมเป็นดังต่อไปนี้ (ให้ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์และ X,Z เป็นเมทริกซ์ Pauli และการวัดแบบ Bell คือที่มีสี่ Bell states เป็นผลที่เป็นไปได้: |\Phi^+ \rangle,X\otimes I|\Phi^+ \rangle,Z\otimes I|\Phi^+ \rangle,XZ\otimes I|\Phi^+ \rangle ):

การเคลื่อนย้ายไร้สัมผัสเชิงควอนตัม

1. ผู้ส่งกับผู้รับแชร์หนึ่ง Bell state |\Phi^+ \rangle ผู้ส่งต้องการส่ง state ของหนึ่งคิวบิต |\psi \rangle ที่ตนเองถืออยู่นอกเหนือจาก Bell state
2. ผู้ส่งทำการวัดแบบ Bell กับสองคิวบิตที่ตนเองถืออยู่
3. ผู้ส่งส่งผลการวัดสองบิตที่ได้ให้ผู้รับ
4. สองบิตนั้นบอกผู้รับว่า state ของคิวบิตที่ตนเองมีอยู่เป็น |\psi\rangle, X|\psi\rangle,Z|\psi\rangle หรือ XZ|\psi\rangle ทำให้ผู้รับสามารถแปลง state ของคิวบิตของตนเองเป็น |\psi \rangle ที่ต้องการได้

คุณสามารถนั่งเขียนทุกขั้นตอนที่ว่ามาเป็นคณิตศาสตร์และตรวจสอบว่ามันทำงานได้ตามที่โฆษณา แต่ก็อาจจะยังมีคำถามในใจว่า “ใครมันคิดขึ้นมาวะ”  ในโพสท์นี้เราจะเสนอการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัสเชิงควอนตัมในรูปแบบของแผนภาพเทนเซอร์ที่อาจจะให้ความกระจ่างตรงนี้มากขึ้น

แผนภาพเทนเซอร์

แผนภาพเทนเซอร์เป็นวิธีการทำการคำนวณกับเทนเซอร์ของ Roger Penrose นักฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ (1931-) ด้วยการวาดรูป

หน้าตาของแผนภาพเทนเซอร์จาก Roger Penrose The Road to Reality หน้า 241

หน้าตาของแผนภาพเทนเซอร์จาก Roger Penrose, The Road to Reality หน้า 241

 

ขาเส้นๆคือดัชนี (indices) ของเทนเซอร์ที่รอไปจับกับขาอื่นเพื่อการย่อของดัชนี (contraction)  ในที่นี้เราไม่ต้องการเทนเซอร์ซับซ้อนอะไรไปกว่าเวกเตอร์และเมทริกซ์  เราจะใช้ข้อตกลงของ Einstein ที่ละการเขียนเครื่องหมาย \sum_i เมื่อมีดัชนี i ซ้ำกันมากกว่าหนึ่งตัว (เพื่อไม่ให้ยุ่งยากเราจะไม่มีการแยกแยะดัชนีบนหรือล่าง)

กำหนดให้ (1) ขาเปิดด้านล่างเป็นเวกเตอร์ |\psi \rangle ใน Hilbert space \mathcal{H} (2) ขาเปิดด้านบนเป็นดูอัลเวกเตอร์ \langle \varphi| ใน \mathcal{H}^* การเอาขาของมันมาต่อกันก็คือการคำนวณ inner product นั่นเอง ซึ่งเป็นการย่อดัชนีด้วยการคูณด้วย Kronecker delta \delta_{ij} ดังนั้นขาเปล่าๆในรูป (3) ด้านล่างก็คือ \delta_{ij} |i\rangle \langle j| = I อย่างที่มันควรจะเป็น คราวนี้จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรางอขา? (4) คือ \delta_{ij} |ij\rangle = |\Phi^+ \rangle Bell state นั่นเอง! และ (5) เป็นดูอัล \langle \Phi^+|

tensor00

(1) |\psi \rangle (2) \langle \varphi| (3) \delta_{ij} |i\rangle \langle j| (4) \delta_{ij} |ij\rangle (5) \delta_{ij} \langle ij|

 

ถึงตรงนี้ก็พร้อมแล้วที่จะค้นพบการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัส แผนภาพด้านซ้ายเป็นการส่งคิวบิตตรงๆ คิวบิตของผู้ส่งเป็นอย่างไรของผู้รับก็เป็นอย่างนั้น ด้านขวาเราแค่บิดเส้นไปมา เป็นเอกลักษณ์ที่สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยาก เส้นประแสดงถึงขอบเขตระหว่างผู้ส่งและผู้รับ แปลว่าขาที่ผ่านเส้นประเป็นการส่งคิวบิตจริงๆไปให้

teleportation

แต่แผนภาพทางด้านขวาก็ไม่ใช่อะไรนอกจากการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัสในกรณีที่การวัดแบบ Bell ของผู้ส่งได้ผล |\Phi^+ \rangle ! ส่วนในกรณีที่ได้ผลการวัดอื่นเราก็แค่เติมเมทริกซ์ Pauli เข้าไปและใช้เอกลักษณ์

transpose

T หมายถึง transpose

 

เพื่อสไลด์เมทริกซ์ Pauli จากการวัดแบบ Bell ครั้งแรกไปยังผู้รับ ก็จะได้ว่าผู้รับต้องรู้ผลการวัดสองบิตจากผู้ส่งเพื่อจะได้ใช้เมทริกซ์ผกผันที่ถูกต้องมาแก้ state ของคิวบิตกลับเป็น state ที่ต้องการ เป็นอันสำเร็จการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัสเชิงควอนตัม

วิธีอื่นๆก็มีการแปลงวงจรควอนตัม (quantum circuit) ที่สลับสองคิวบิตเป็นวงจรควอนตัมของการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัส หรือใช้ stabilizer formalism ก็ได้เพราะการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัสใช้แต่ตัวกระทำการ Clifford (normalizer ของ Pauli group) แต่แผนภาพเทนเซอร์เป็นวิธีที่ทำให้เห็นว่าเกิดอะไรขึ้นชัดที่สุดแล้วที่เรารู้

การเข้ารหัสอย่างหนาแน่นหรือสลับ entanglement ก็วาดได้

dense_coding_ent_swap

(1) เข้ารหัสอย่างหนาแน่น (2) การสลับ entanglement คิวบิตซ้ายและขวาที่ไม่เคยเจอกันเลยสามารถ entangle กันได้เมื่อคนกลางทำการวัดแบบ Bell จริงๆมันก็คือ teleportation ของคิวบิตที่ entangle กับคิวบิตอื่นอยู่นั่นเอง

ถ้าเติมการส่งบิตไปด้วย (แสดงด้วยเส้นสีแดง) ก็จะเห็นความคล้ายกันของการเข้ารหัสอย่างหนาแน่นและการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัส

dual_protocol

Kindergarten Quantum Mechanics ของ Bob Coecke เสนอว่าสาเหตุที่นักวิทยาศาสตร์ใช้เวลากว่า 60 ปีก่อนที่จะถามคำถามซึ่งนำไปสู่การค้นพบการเคลื่อนย้ายไร้สัมผัสเชิงควอนตัมเป็นเพราะภาษาที่เราใช้ในทฤษฎีควอนตัมตามปกติไม่ดีพอและเสนอการวาดรูปแบบนี้แทน (ซึ่งสามารถโยงกับภาษาในทฤษฎี category ได้)