กลศาสตร์ดั้งเดิมบนควอนตัมดิต บทนำ

ในซีรี่ส์นี้ ผมจะพูดถึงที่มาของการค้นพบที่ผมกำลังศึกษาอยู่ (ไม่ใช่การค้นพบของผม) ว่าเราสามารถเขียนส่วนหนึ่งของทฤษฎีควอนตัมบนควอนตัมดิท (qudit) — ระบบที่มิติของสเปซของสถานะควอนตัมเป็นจำนวนเต็ม d (qubit ถ้า d=2) — ให้ดูคล้ายกับกลศาสตร์ดั้งเดิมถึงแม้ว่าเราจะสามารถมีเอนแทงเกิลเมนต์หรือทำการเทเลพอร์ตได้ และนอกเหนือจากหน้าตาที่คล้ายกันแล้วเรายังสามารถจำลองทฤษฎีนี้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยคอมพิวเตอร์ธรรมดาได้ แต่เมื่อเราเพิ่มความสามารถบางอย่างให้กับมันก็สามารถอัพเกรดมันเป็นควอนตัมคอมพิวเตอร์อเนกประสงค์ (universal) ได้อีกด้วย แต่เทคนิคนี้ยังให้ผลที่ไม่ดีพอในการให้ส่วนของทฤษฎีควอนตัมที่จำลองได้บนคอมพิวเตอร์ธรรมดาในกรณีที่ d เป็นจำนวนคู่และยังเป็นปัญหาปลายเปิดในทฤษฎีสารสนเทศศาสตร์เชิงควอนตัม

อะไรคือควอนตัม?

มันไม่เป็นความจริงว่าทุกอย่างที่เกิดขึ้นตามทฤษฎีควอนตัมจะต้องแปลกไปจากสิ่งที่พบเห็นได้ในชีวิตประจำวัน เพราะฟิสิกส์ดั้งเดิม(หรือคลาสสิคัล — classical) ก็เกิดมาจากกฎของทฤษฎีควอนตัมเหมือนกัน! กล่าวคือแม้พฤติกรรมของบางสิ่งอาจจะประมาณได้ค่อนข้างแม่นยำด้วยฟิสิกส์ดั้งเดิมแต่ธรรมชาติของทุกสิ่งล้วนเป็นไปตามทฤษฎีควอนตัมโดยกำเนิด คนมักจะเรียกอะไรว่าควอนตัมถ้าไม่เคยเห็นมันในฟิสิกส์ดั้งเดิม “เรื่องเล่า”ที่ได้ยินกันบ่อยก็คือหากระบบที่เราศึกษาใหญ่หรืออุ่นหรือเราไม่มีเครื่องมือในการตรวจจับที่ละเอียดมากๆ  “ความเป็นควอนตัม” ก็จะไม่ปรากฎให้เห็น แต่อีกด้านหนึ่งเราก็มีตัวอย่างมาตรฐานของระบบควอนตัม “ขนาดใหญ่” อย่างของไหลยิ่งยวด (superfluid) หรือตัวนำยิ่งยวด (superconductor) ณ อุณหภูมิห้องที่ไม่เคยเห็นในฟิสิกส์ดั้งเดิม แต่ถ้าคนนี้ไม่เคยเห็นแต่อีกคนเคยเห็นล่ะ? ต้องเป็น PhD หรือผู้เชี่ยวชาญระดับไหนจึงจะตัดสินได้ว่าอะไรเป็นควอนตัม? ปัญหาก็คือคำว่า “ความเป็นควอนตัม” ไม่ใช่อะไรที่มีความหมายชัดเจนได้รับการยอมรับร่วมกัน ซึ่งนำมาสู่ปัญหาว่าเราจะใช้เงื่อนไขใดในการตัดสินข้อกล่าวอ้างว่าหยดน้ำมันมีพฤติกรรมควอนตัม (ซึ่ง Ross Anderson ผู้เชี่ยวชาญด้านความปลอดภัยคอมพิวเตอร์จาก Cambridge ที่ไม่เชื่อในเอนแทงเกิลเมนต์และทฤษฎีบทของ Bell เอามันมาเป็นโมเดลแทนทฤษฎีควอนตัมเพื่อพิสูจน์ว่าควอนตัมคอมพิวเตอร์และการเข้ารหัสลับเชิงควอนตัมเป็นไปไม่ได้!),

quantum_droplet

ว่าเครื่องจักร D-Wave ที่ขายในราคาเป็นสิบล้านดอลลาร์สหรัฐเป็นควอนตัมคอมพิวเตอร์เพราะพิสูจน์ได้ว่ามีเอนแทงเกิลเมนต์,
d-wave_entซึ่งดูเหมือนจะขัดแย้งกับอีกข่าวว่าคอมพิวเตอร์อนาลอกดั้งเดิมสามารถจำลองควอนตัมคอมพิวเตอร์โดยการจำลองเอนแทงเกิลเมนต์ได้,

classical_simulate

หรือทุกข่าวที่ยกมาและทุกอย่างที่นักวิทยาศาสตร์ควอนตัมทำหมดความหมายเพราะฟิสิกส์ดั้งเดิมก็มีเอนแทงเกิลเมนต์ที่ฝ่าฝืนอสมการของ Bell ได้!

qc_boundary

(เฉลย: การทดสอบ “อสมการของ Bell” ในงานชิ้นนี้ไม่มีการวัดในสองสถานที่ที่ห่างกัน จึงปัญญาอ่อนที่จะเรียกมันว่าอสมการของ Bell)

เราจึงต้องหันมาใช้นิยามเชิงปฏิบัติการ (operational) ที่ขึ้นกับว่าเราทำอะไรได้หรือไม่ได้ซึ่งทุกคนเห็นตรงกันได้แทนที่การใช้ความหมายของคำว่า “ควอนตัม” ที่ต่างคนต่างก็คิดกันไปเอง โดยประกาศว่าสิ่งที่มี “ความเป็นควอนตัม” คือสิ่งที่จำลองควอนตัมคอมพิวเตอร์ (ในโมเดลใดโมเดลหนึ่ง) ได้อย่างมีประสิทธิภาพแต่คอมพิวเตอร์ดั้งเดิม (โมเดลด้วยเครื่องจักร Turing) จำลองมันอย่างมีประสิทธิภาพไม่ได้

คำถามก็คือ นิยามนี้ที่พูดถึงแต่คอมพิวเตอร์จำกัดมากเกินไปหรือเปล่า และหากเรายอมรับนิยามนี้ มีอะไรที่ควอนตัมคอมพิวเตอร์ทำได้ในขณะที่คอมพิวเตอร์ธรรมดาทำไม่ได้? เมื่อไรที่คอมพิวเตอร์ธรรมดาสามารถจำลองกระบวนการทางควอนตัมได้อย่างมีประสิทธิภาพ?

สำหรับคำถามแรก ข้อโต้แย้งที่มักจะได้ยินก็คือก่อนที่จะมีคอมพิวเตอร์คนก็มักจะเปรียบเทียบการทำงานของจักรวาล (ตามกฎของ Newton ที่แน่นอน) กับนาฬิกาจักรกลที่มีการทำงานอย่างแน่นอนเป็นระเบียบเป๊ะๆ ตอนนี้เรามีคอมพิวเตอร์คนก็เลยเปรียบเทียบจักรวาลกับคอมพิวเตอร์ ในอนาคตคนก็จะเปรียบเทียบจักรวาลกับเครื่องกลอย่างอื่นที่ทันสมัยกว่า สิ่งที่เหตุผลนี้มองข้ามก็คือเรามีไอเดียของคอมพิวเตอร์อเนกประสงค์ที่นาฬิกาไม่มี ไม่ว่าจะมีเทคโนโลยีก้าวหน้าแค่ไหนในอนาคตเราก็อาจจะเชื่อได้ว่าคอมพิวเตอร์อเนกประสงค์สามารถจำลองมันได้

อีกข้อโต้แย้งที่มักได้ยินก็คือการปฏิบัติการของคอมพิวเตอร์ถูกดีไซน์ขึ้นมาตามกฏฟิสิกส์ดั้งเดิม แต่เรารู้ว่ามีกฎฟิสิกส์ที่พื้นฐานกว่านั้นก็คือทฤษฎีควอนตัม… เพราะอย่างนั้นเราถึงใช้ควอนตัมคอมพิวเตอร์ในนิยามไง!

ที่จริงแล้วสำหรับ Richard P. Feynman และ Kenneth G. Wilson (นักฟิสิกส์รางวัลโนเบลทั้งคู่) ถ้ากฎของฟิสิกส์ไม่สามารถถูกจำลองบนคอมพิวเตอร์ได้อาจจะบอกเราว่านั่นไม่ใช่กฎที่ถูกต้อง

Simulating Physics with Computers

I want to talk about the possibility that there is to be an exact simulation, that the computer will do exactly the same as nature. If this is to be proved… then it’s going to be necessary that everything that happens in a finite volume of space and time would have to be exactly analyzable with a finite number of logical operations. The present theory of physics is not that way, apparently. It allows space to go down into infinitesimal distances, wavelengths to get infinitely great, terms to be summed in infinite order, and so forth; and therefore, if this proposition is right, physical law is wrong.

The Renormalization Group and Critical Phenomena 

In thinking and trying out ideas about “what is a field theory” I found it very helpful to demand that a correctly formulated field theory should be soluble by computer, the same way an ordinary differential equation can be solved on a computer, namely with arbitrary accuracy in return for sufficient computing power.

(การจำลองทฤษฎีสนามควอนตัมและ standard model บนควอนตัมคอมพิวเตอร์ที่น่าสนใจมากเป็นการวิจัยที่ยังดำเนินอยู่ในปัจจุบัน Quote ของ Wilson ผมก็ได้มาจากการบรรยายของ Stephen Jordan ที่ APS March Meeting 2015)

Feynman ในปี 1981 ยังมีความเข้าใจในเรื่องนี้มากกว่าหลายคนในยุคต่อๆมา ควอนตัมคอมพิวเตอร์ไม่ได้มีประสิทธิภาพมากกว่าเพราะสถานะควอนตัมเป็นเวกเตอร์ที่โตเป็นเอกโพเนนเชียลของจำนวนระบบย่อยหรือแก้ปัญหาโดยลองทุกๆคำตอบ “พร้อมกัน” เว้นแต่ว่าการวัดทำให้ได้ออกมาคำตอบเดียวเท่านั้น เพราะทฤษฎีความน่าจะเป็นธรรมดาก็ทำแบบนั้นได้! สำหรับ Feynman หลักฐานแรกที่บอกว่าคอมพิวเตอร์ธรรมดาไม่สามารถจำลองกระบวนการควอนตัมมาจากรากฐานของทฤษฎีควอนตัม สาขาที่ “ไร้ประโยชน์” และมีแต่ “นักปรัชญา” ที่สนใจในขณะนั้น: ทฤษฎีบทของ Bell! ถ้าเราใช้นิยามนี้โดยใช้โมเดลของควอนตัมคอมพิวเตอร์ที่ฝ่าฝืนอสมการของ Bell ได้ หยดน้ำมันและอนาลอกคอมพิวเตอร์ข้างต้นก็จะไม่ใช่ควอนตัม ในขณะที่การมีเอนแทงเกิลเมนต์ไม่เพียงพอที่จะบอกได้ว่ามันเป็นควอนตัมหรือไม่เพราะคอมพิวเตอร์อาจจะไม่สามารถนำเอนแทงเกิลเมนต์ที่มีอยู่ไปใช้ประโยชน์ได้ ตามนิยามนี้การจะบอกว่าอะไรเป็นควอนตัมขึ้นอยู่กับทั้งกระบวนการการคำนวณ จะขึ้นอยู่กับ “เชื้อเพลิง” เพียงอย่างเดียวไม่ได้ (นี่คือเหตุผลหลักที่ทำให้ผมสนใจในปัญหานี้ เพราะมันเป็นปัญหาที่อยู่ระหว่างปรัชญา — ที่เป็นปัญหาใหญ่ที่น่าคิดแต่อาจจะ “ไร้ประโยชน์” —   กับปัญหาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ที่มีประโยชน์ ซึ่งชี้ให้เห็นว่าการคิดถึงปัญหาปรัชญาไม่ได้ไร้ประโยชน์ถึงแม้คุณจะคิดว่ามีแต่วิทยาศาสตร์เท่านั้นที่มีประโยชน์!)

แต่มันยากที่จะบอกได้ว่าถึงแม้หากระบบที่เรามีอยู่ไม่สามารถฝ่าฝืนอสมการของ Bell ได้แล้วเราจะจำลองมันบนคอมพิวเตอร์ได้อย่างไร Feynman จึงเขียนสถานะควอนตัมของควอนตัมบิตที่เป็นหน่วยประมวลที่เล็กที่สุดของควอนตัมคอมพิวเตอร์เป็นการแจกแจงที่เป็นจำนวนจริงรวมกับได้ 1 คล้ายกับความน่าจะเป็นแทนที่จะใช้เวกเตอร์ของจำนวนเชิงซ้อน แต่การแจกแจงนี้สามารถมีค่าติดลบได้ และบอกว่าเมื่อไรก็ตามที่เราไม่มี “ความน่าจะเป็นที่เป็นลบ” นี้เราก็จะได้ทฤษฎีความน่าจะเป็นธรรมดาและเราก็สามารถที่จะจำลองมันบนคอมพิวเตอร์ธรรมดาได้ (ถ้าไม่ chaotic หรือซับซ้อนเกินไป) พลังของทฤษฎีควอนตัมมาจากการแทรกสอดหักล้างกันของความน่าจะเป็นที่เป็นบวกและ “ความน่าจะเป็น” ที่เป็นลบ

ตั้งแต่นั้นมาในช่วงเวลากว่า 30 ปีหลังจากการบรรยายของ Feynman นักวิจัยที่ค้นหาวิธีเขียนกระบวนการทางควอนตัมอย่างมีประสิทธิภาพก็ไปเจอโครงสร้าง “symplectic” ที่เป็นโครงสร้างสำคัญของกลศาสตร์ดั้งเดิมในระบบของควอนตัมดิตที่บอกเราว่าเมื่อไรที่เราจะจำลองทฤษฎีควอนตัมได้ด้วยกระบวนการที่ใช้ความน่าจะเป็นธรรมดาในแบบที่ Feynman กล่าวถึงและ “ความน่าจะเป็นติดลบ” แบบไหนที่เราต้องใส่เพิ่มลงไปเพื่อที่จะให้ได้มาซึ่งควอนตัมคอมพิวเตอร์อเนกประสงค์ที่จำลองทุกๆประบวนการควอนตัมอย่างมีประสิทธิภาพได้