ไปโบสถ์แห่ง Hilbert space ที่ใหญ่กว่า

ในโพสท์ “ทฤษฎีควอนตัมในฐานะทฤษฎีความน่าจะเป็น” ( ตอนที่ 1 ตอนที่ 2 ) เราได้บอกว่าส่วนหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ประกอบด้วยสถานะที่รู้มากที่สุด, การแปลงระหว่างสถานะที่รู้มากที่สุดและการวัดที่ไม่มีการสับสนผลการวัดสามารถดัดแปลงไปเป็นทฤษฎีควอนตัมกำหนดโดย axioms ที่รู้จักกันตามตำราได้โดยการเปลี่ยนเพียงจุดเดียว: ให้สถานะที่รู้มากที่สุดมีโครงสร้างของเวกเตอร์สเปซของจำนวนเชิงซ้อน (เหมือนกับสถานะของคลื่นในฟิสิกส์) ในขณะที่จำนวนผลการวัดที่ mutually exclusive กันยังมีจำนวนเท่าเดิม เช่น จากบิตไปยังควอนตัมบิต ผลการวัดใดๆมีได้ 2 ค่าเหมือนกัน แต่ในขณะที่บิตมีเพียง 2 สถานะที่รู้มากที่สุดแต่ควอนตัมบิตมีจำนวนสถานะที่รู้มากที่สุดเป็นอนันต์

แต่แน่นอนว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นไม่ได้มีแค่สถานะที่รู้มากที่สุด, การแปลงระหว่างสถานะที่รู้มากที่สุด และการวัดที่ไม่มีการสับสนผลการวัด (ถ้ารู้มากที่สุดเท่าที่จะรู้ได้แล้วก็ไม่ต้องพูดถึงความน่าจะเป็นอีกต่อไป) ซึ่งเราขอเรียกสั้นๆว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นของสถานะบริสุทธิ์เพราะสถานะที่รู้มากที่สุดมีอีกชื่อคือสถานะบริสุทธิ์ (pure states) ตรงข้ามกับสถานะผสม (mixed states) ที่ “ผสม” ความไม่แน่นอนของหลายการแจกแจงความน่าจะเป็นเข้าด้วยกันโดยการสุ่มเลือกการแจกแจงความน่าจะเป็น เช่นถ้า |p\rangle = p|0\rangle +(1-p)|1\rangle และ |q\rangle = q|0\rangle + (1-q)|1\rangle  เราสามารถผสมมันเข้าด้วยกันเป็นการแจกแจงใหม่ได้

|r\rangle = r|p\rangle + (1-r)|q\rangle

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นของสถานะผสม การแปลงโดยทั่วไปสามารถเปลี่ยนสถานะบริสุทธิ์เป็นสถานะผสมหรือกลับกันได้ และไม่จำเป็นที่การวัดจะต้องได้ผลที่ mutually exclusive

คำถามก็คือเราได้อะไรใหม่ไหมจากทฤษฎีควอนตัมของสถานะผสม? อาจจะคิดว่าคำตอบต้องเป็นใช่แต่ด้วยลักษณะที่พิเศษของทฤษฎีควอนตัมทำให้คำตอบซับซ้อนมากกว่านั้น ปรากฎว่าทฤษฎีควอนตัมของสถานะบริสุทธิ์สามารถใช้อธิบายทฤษฎีควอนตัมของสถานะผสมได้ แต่การขยายทฤษฎีควอนตัมก็ยังมีความสำคัญด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:ถ้าระบบควอนตัมที่เราสนใจมีความสัมพันธ์กับระบบควอนตัมอื่น (ซึ่งเกิดขึ้นในระบบจริงเสมอไม่มากก็น้อย) เพียงหนึ่งในสามกระบวนการ: ไม่การเตรียมสถานะเริ่มต้นหรือการเปลี่ยนแปลงของระบบก็การวัด เราสามารถใช้ทฤษฎีควอนตัมของสถานะผสมเพื่อเขียนคำอธิบายของระบบของเราโดยไม่ต้องพูดถึงระบบภายนอกได้ ซึ่งถ้าเป็นการทดลองก็มักจะเป็นสิ่งแวดล้อมที่เราไม่สามารถควบคุมได้ [1]

ความเข้าใจนี้นำไปสู่คอนเซปต์สมัยใหม่ของการวัดในทฤษฎีควอนตัมว่าการวัด = เอนแทงเกิลเมนต์ ไม่มีความจำเป็นที่จะต้องมีอะไรที่นอกเหนือทฤษฎีควอนตัมเช่นจิตมาอธิบายการเปลี่ยนแปลงของสถานะควอนตัมจากการวัดหรือ “collapse” เพราะสิ่งที่ดูเหมือน collapse ได้เกิดขึ้นจากการวัดโดยสิ่งแวดล้อมก่อนที่เครื่องมือวัดของเราจะอ่านค่าได้แล้ว ในขณะเดียวกันนั่นหมายความว่าผลจากการ collapse ที่ดูเหมือนจะให้การแจกแจงความน่าจะเป็นธรรมดาอาจมาจากเอนแทงเกิลเมนต์ ในมุมมองนี้โลกที่เราคุ้นเคยในชีวิตประจำวันที่ปราศจากปรากฎการณ์ทางควอนตัมไม่ใช่เพราะมีเอนแทงเกิลเมนต์น้อยเกินไปแต่เพราะมีเอนแทงเกิลเมนต์มากเกินไปต่างหาก! เหมือนจะเป็นบทเรียนได้ว่าเรื่องบ้าๆถ้าเกิดขึ้นทุกหนทุกแห่งก็กลายเป็นเรื่องธรรมดาได้…

สมมติว่าเรามี 2 บิตหรือ 2 ควอนตัมบิต, A กับ B, เราจะเขียนมันใน bra-ket notation ได้อย่างไร? เราทราบจากตอนแรกแล้วว่าถ้า A อยู่ในสถานะ

\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]

และ B อยู่ในสถานะ

\left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right]

สถานะร่วมควรจะเป็น

\left[\begin{array}{c}ac\\ad\\bc\\bd\end{array}\right]

โดย a,b,c และ d เป็นจำนวนจริงบวกและ a+b=c+d=1 สำหรับบิตในขณะที่ a,b,c และ d เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ |a|^2 + |b|^2 = |c|^2 + |d|^2 = 1 สำหรับควอนตัมบิต

ถ้า a (c) คือสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ |0\rangle_A (|0\rangle_B ) และ b (d) คือสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ |1\rangle_A (|1\rangle_B) การเขียนสถานะร่วมข้างต้นบอกเราว่าเราควรจะเขียนเวกเตอร์ทั้ง 4 ในเบสิสของระบบร่วมเป็น |0\rangle_A \otimes |0\rangle_B, |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B, |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B และ |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B  โดยสัญลักษณ์ \otimes เตือนเราว่ามันไม่ใช่การคูณกันของสองเวกเตอร์จากเวกเตอร์สเปซเดียวกัน (ซึ่งไม่นิยามในเวกเตอร์สเปซเฉยๆ เวกเตอร์สเปซที่มีการคูณของเวกเตอร์เรียกว่า algebra) แต่เป็นคนละเวกเตอร์สเปซกัน แต่ถ้าเข้าใจตรงกันแล้วและตกลงลำดับของระบบแน่นอน จะเขียนสั้นๆว่า |00\rangle, |01\rangle, |10\rangle และ |11\rangle ก็ได้ เวกเตอร์ด้านบนก็จะเขียนได้เป็น

ac|00\rangle + ad|01\rangle + bc|10\rangle + bd|11\rangle

แต่ก็มีเวกเตอร์อย่าง

|01\rangle + |10\rangle

ที่ไม่สามารถเขียนในรูปข้างต้นได้

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นนี่คือสถานการณ์ที่สองบิตมีความสัมพันธ์ (correlated) กันในขณะที่ในควอนตัมนี่คือนิยามของสถานะเอนแทงเกิล (entangled state) ที่บริสุทธิ์— สถานะบริสุทธิ์ที่มีเอนแทงเกิลเมนต์นั่นเอง เดี๋ยวก่อน! แต่ความสัมพันธ์ธรรมดาๆกับเอนแทงเกิลเมนต์ต่างกันไม่ใช่เหรอ? ใช่ ต่างกัน เพราะในการเขียนสถานะของบิตและควอนตัมบิตเป็นเวกเตอร์แบบนี้ สิ่งที่เขียนเหมือนกันต้องการการตีความต่างกันเพราะกฎการหาความน่าจะเป็นในทฤษฎีดั้งเดิมกับควอนตัมนั้นต่างกัน (ถ้าจำได้ กฎของทฤษฎีหลังมาจากทฤษฎีบทของ Gleason)

ความสัมพันธ์ระหว่างบิต

ถ้ามันเป็นบิต ความหมายของ

\frac{1}{2}(|01\rangle + |10\rangle )

ก็คือค่าบิตทั้งสองมีความสัมพันธ์กัน ถึงแม้เราจะไม่รู้ว่าแต่ละบิตมีค่าอะไร แต่ถ้าบิทหนึ่งมีค่าใดอีกบิทก็ต้องค่าตรงกันข้าม สมมติว่ามีถุงมืออยู่คู่หนึ่ง แยกใส่สองกล่องกล่องละข้าง แล้วเอาไปให้ A กับ B โดยบอกว่าในกล่องมีถุงมืออยู่หนึ่งข้างแต่ไม่บอกว่าข้างไหน แล้วสองคนก็เดินทางแยกย้ายไปยังคนละขอบจักรวาล เมื่อ A เปิดกล่องและพบถุงมือข้างใดข้างหนึ่งก็จะรู้ทันทีว่ากล่องของ B ต้องมีถุงมืออีกข้าง เรามักจะเห็นได้ตามบทความวิทยาศาสตร์ที่ไม่รอบคอบว่า “หาก A และ B มีสถานะควอนตัมที่เอนแทงเกิลกันอยู่ ต่อให้ A และ B อยู่ไกลกันสุดขอบจักรวาล เมื่อ A ทำการวัดสถานะของระบบที่ตนเองถืออยู่ก็จะรู้สถานะของระบบที่ B ถืออยู่ทันทีเร็วกว่าแสง!” สถานการณ์นี้ก็เกิดกับถุงมือและไม่ได้มีอะไรที่เป็นควอนตัมเลย

xkcd: Bell’s Theorem

 

ปรากฎการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้นเมื่อมีความสัมพันธ์กันก็คือข้อมูลที่เรารู้ได้จากแต่ละบิตแยกกันมีน้อยกว่าข้อมูลที่เรารู้ได้จากการสังเกตทั้งคู่ ข้อมูลจากเพียงบิตเดียวมาจากการแจกแจง marginal (เหมือนจะแปลไทยว่า “การแจกแจงตามขอบ” แต่ฟังดูประหลาด) ซึ่งก็คือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ได้จากการเฉลี่ยค่าอีกบิตที่เราไม่ได้สนใจ

P(x)=\sum_{y=0,1} P(x|y)P(y)=\sum_{y=0,1} P(x,y)

ถ้าเราหา marginal ของระบบคู่ที่ไม่มีความสัมพันธ์กันแล้วจับมันมารวมกันใหม่ด้วยการคูณเทนเซอร์ก็จะได้สถานะเดิมกลับมา แต่ถ้าเกิดเราลองทำอย่างนั้นกับสถานะที่สัมพันธ์กันที่ยกเป็นตัวอย่างด้านบนที่มี marginal

\frac{1}{2}(|0\rangle + |1\rangle )

ไม่ว่าจะดูที่บิตไหนล่ะก็ แทนที่จะได้สถานะเดิมกลับมาเรากลับได้

\frac{1}{4}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle )

ซึ่งสอดคล้องกับ marginal แต่ไม่ใช่สถานะเดิม! เราได้สูญเสียข้อมูลเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างสองบิตไป

ความสัมพันธ์ระหว่างควอนตัมบิต

ถ้ามันเป็นควอนตัมบิต ความหมายก็คือควอนตัมบิตทั้งสอง “สัมพันธ์กัน” แต่เราจะพูดว่า “ค่าของควอนตัมบิตทั้งสองสัมพันธ์กัน” ได้ลำบากเพราะ “ค่า” ของควอนตัมบิตขึ้นอยู่กับว่าเราจะเลือกวัดอะไร แต่มีสถานะหนึ่งที่เรียกว่าสถานะ singlet

\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle )

จุดที่ต่างกับตัวอย่างถุงมือก็คือคราวนี้เราสามารถเลือกที่จะวัดเบสิสไหนก็ได้ และผลลัพธ์ที่น่าทึ่งก็คือไม่ว่าเราจะทำการวัดในเบสิสไหนเราก็จะได้ผลที่ตรงข้ามกันเสมอ อย่างกับว่าถ้า A และ B ทำการวัดอย่างหนึ่งก็จะได้ถุงมือกันคนละข้างแต่ถ้าทำการวัดอีกอย่างหนึ่งจะได้ถุงเท้ากันคนละข้างแทน ซึ่งเป็นสมบัติที่พิเศษ [2] เรามาลองใช้สมมติฐานว่าการวัดกระทบกระเทือนระบบน้อยที่สุดทำให้สถานะหลังการวัดมาจากการฉายลงบน eigenspace ของ eigenvalue ที่วัดได้กัน (นี่คือกฎของ Lüders เป็น generalization เมื่อมี degenerate eigenvalue) จะได้ว่าถ้า A วัดในเบสิส \{|0\rangle , |1\rangle \} ได้ค่า 0 (มี|0\rangle_A \langle 0| \otimes I_B เป็นเมทริกซ์ที่ทำการฉาย I_B คือเมทริกซ์เอกลักษณ์บนระบบ B ซึ่ง degenerate) สถานะหลังการวัดก็จะเป็น

|0\rangle |1\rangle

บางคนคิดว่านี่คือการส่งสัญญาณในชั่วพริบตาซึ่งขัดกับสัมพัทธภาพ แต่คนเดียวที่รู้สถานะหลังการวัดนี้ก็คือ A คนวัดเท่านั้น A จะต้องบอก B จึงจะรู้ว่าผลการวัดจะต้องได้ 1 แน่ๆ ซึ่งความเร็วของการสื่อสารถูกจำกัดโดยสัมพัทธภาพ ยิ่งการนั้นตามสัมพัทธภาพแล้วเราไม่สามารถพูดได้ว่าใครทำการวัดก่อนใครเพราะมีทั้งกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ A วัดก่อน B และกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ B วัดก่อน A การรู้ผลการวัดและอัพเดทสถานะเกี่ยวกับการประมวลผลข้อมูลเฉยๆและไม่ใช่เหตุการณ์ที่เป็นเหตุ-ผลกัน

Density Matrix

วิธีที่ตรงไปตรงมาที่จะบอกว่าก่อนการวัดทั้ง A และ B ไม่สามารถทำนายผลการวัดล่วงหน้าได้คือการหา marginal ของสถานะ singlet แต่มันไม่ชัดเจนว่าเราจะหา marginal จากสูตรนี้ได้อย่างไร

P(x)=\sum_{y=0,1} P(x|y)P(y)=\sum_{y=0,1} P(x,y)

เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้ด้วยการมองสถานะควอนตัมบริสุทธิ์เป็นซับสเปซ (subspace) แทนเวกเตอร์ซึ่งทำได้เพราะการคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนเชิงซ้อนไม่เปลี่ยนซับสเปซที่มันอาศัยอยู่ สถานะควอนตัมก็เช่นกัน การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน (“global phase”) ไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นใดๆที่ได้จากการวัดระบบในสถานะนั้น

ซับเสปซมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งกับเมทริกซ์ที่ทำหน้าที่ฉายลงบนซับสเปซนั้น เราจึงแทนสถานะควอนตัม |\psi \rangle ด้วยเมทริกซ์

|\psi \rangle \langle \psi|

ได้ (้เราได้ใช้ “ket-bra” จากตอนที่แล้ว ซึ่งเป็นการกำจัด global phase ไปในตัว) เราเรียกวัตถุนี้ว่า density matrix (เข้าใจว่าชื่อและสัญลักษณ์ตกทอดมาจากความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density) บน phase space ในฟิสิกส์ดั้งเดิม) กฎการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ผลการวัด E จากตอนที่แล้ว

\langle \psi |E|\psi \rangle

เขียนได้เป็น

\mbox{Tr} (E|\psi \rangle \langle \psi |)

แทน (จะใช้นิยามของเทรซที่ขึ้นกับเบสิสว่าเป็นผลบวกของทุกตัวเลขในแนวทแยงของเมทริกซ์ก็ได้ (ค่าของเทรซไม่ขึ้นกับเบสิส เราหมายถึงแต่นิยามที่ขึ้นกับเบสิส) แต่สะดวกกว่ามากที่จะใช้นิยามที่ไม่ขึ้นกับเบสิสว่าเทรซของ |\psi \rangle \langle \varphi| หาได้จากการ “สลับ ket กับ bra” \langle \varphi |\psi \rangle ก็จะได้ expression ข้างบนออกมาทันที) เนื่องจากเทรซเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น การคำนวณความน่าจะเป็นของผลการวัดจาก convex combination ของ density matrices ของสถานะ(บริสุทธิ์หรือผสม)จึงเท่ากับการคำนวณความน่าจะเป็นของผลการวัดเมื่อสถานะของเราได้จากการสุ่มเลือกสถานะ(บริสุทธิ์หรือผสม) นั่นหมายความว่า density matrices ให้สถานะผสมในโลกควอนตัมกับเรานั่นเอง [3]

สถานะผสมต่างกับสถานะซูเปอร์โพสิชันอย่างไรดูได้จากตัวอย่างง่ายๆ ถ้าเรามีสถานะ \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle ) และทำการวัดในเบสิส |0\rangle และ |1\rangle  ผลที่ออกมาก็จะ random แต่เนื่องจากมันเป็นสถานะที่รู้มากที่สุด ถ้าเราต้องการจะได้ผลการวัดที่แน่นอนเราก็เพียงแค่ทำการวัดในเบสิส \frac{1}{\sqrt{2}} ( |0\rangle + |1\rangle ) และ \frac{1}{\sqrt{2}} ( |0\rangle - |1\rangle )  Density matrix ของสถานะนี้คือ

\frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)

ในขณะที่ไม่ว่าจะทำการวัดในเบสิสไหนในสถานะ \frac{1}{2} (|0\rangle \langle 0| + |1\rangle \langle 1| ) = I/2  ก็จะได้ผลที่ random เสมอเพราะเมทริกซ์เอกลักษณ์หน้าตาคงเดิมไม่ว่าจะเขียนมันในเบสิสไหนก็ตามซึ่งต่างกับ \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle + |1\rangle ) มาก! นี่คือสถานะควอนตัมที่ใกล้เคียงที่สุดกับสถานะผสมของบิตที่เราไม่รู้ค่าในทฤษฎีความน่าจะเป็นแล้ว

Marginal ในทฤษฎีควอนตัม

Density matrix ช่วยในการหา marginal อย่างไร? เมื่อเรามีหลายระบบเราไม่จำเป็นจะต้องเทรซรวดเดียวทุกระบบ เราสามารถที่เฉลี่ย “ค่า” ของระบบที่ไม่สนใจด้วยการเทรซแต่ระบบนั้นได้ด้วย “partial trace” คนมักจะใช้คำพูดว่าเทรซระบบที่ไม่สนใจออกไป (“trace out”) Density matrix ที่ได้จากการเทรซควอนตัมบิต B ออกไปจาก density matrix ร่วม

\rho_A = \mbox{Tr}_B (\rho_{AB})

นั้นมีข้อมูลเพียงพอที่จะใช้คำนวณความน่าจะเป็นของการวัดทุกๆแบบที่เป็นไปได้บน A ได้ [4]

ในที่สุดเราก็ได้คำนวณ marginal ของสถานะ singlet สักที

|\psi \rangle_{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle )

ได้ว่า

\rho_A = \rho_B = I/2

แน่นอนว่าถ้านำสถานะของระบบย่อยมารวมกันด้วยการคูณเทนเซอร์ก็จะไม่ได้สถานะเดิม

\rho_{AB} = \frac{1}{4} I \otimes I

เราไม่ได้สถานะบริสุทธิ์ด้วยซ้ำ! เมื่อเรามีสถานะเอนแทงเกิลที่บริสุทธิ์ถึงแม้ว่าเราจะรู้ทุกอย่างเท่าที่จะรู้ได้เกี่ยวกับระบบร่วมแล้วแต่กลับไม่รู้อะไรเกี่ยวกับระบบย่อยเลย อย่างกับว่ามีคนคนหนึ่งที่บอกว่ารู้จักพี่น้องคู่หนึ่งอย่างดี ไม่ว่าจะชอบกินอะไร แต่งตัวแบบไหน ถนัดเรื่องอะไร แต่พอถามว่ารู้จักคนพี่มั๊ยก็ตอบ “ไม่รู้จัก” รู้จักคนน้องมั๊ย ก็ “ไม่รู้จัก” ฟังดูบ้ามั๊ยล่ะ? ระบบร่วมที่มีความสัมพันธ์ในทฤษฎีความน่าจะเป็นจะต้องเป็นสถานะผสมจึงไม่มีปรากฎการณ์นี้เกิดขึ้น นี่จึงเป็นอีกครั้งที่ความแปลกของทฤษฎีควอนตัมมาจากการที่สถานะควอนตัมบริสุทธิ์ทำตัวเหมือนสถานะผสม

Purification

ที่ผ่านมาเราถือว่าเรามีสถานะผสมเมื่อเรามีความไม่แน่นอนว่าสถานะที่เรามีอยู่ในสถานะใดกันแน่ แต่การคำนวณนี้ยังชี้ให้เห็นการตีความที่เป็นไปได้อีกแบบ สถานะผสมอาจจะมาจากการที่สถานะร่วมที่บริสุทธิ์ของควอนตัมบิทของเรากับอีกควอนตัมบิทหนึ่งที่สัมพันธ์กัน ในตัวอย่างนี้สถานะผสม ρA = ρB = I/2   สามารถขยายไปเป็น singlet ของสองควอนตัมบิตได้ เราสามารถทำอย่างนี้กับทุกๆสถานะของ A ได้หรือไม่และสำหรับแต่ละสถานะของ A สามารถขยายเป็นสถานะใดได้บ้างบนเวกเตอร์สเปซที่ใหญ่กว่า?

Schrödinger มีคำตอบตั้งแต่ปี 1936 แล้ว! นี่คือทฤษฎีบทที่เรียกรวมๆกันว่าทฤษฎีบท Schrödinger-HJW (Hughston, Jozsa และ Wootters) ซึ่งเราจะไม่พูดถึงรายละเอียดในที่นี้ [5] แต่คำตอบของคำถามแรกคือ ใช่ นี่คือคอนเซปต์ของ purification — การขยายสถานะผสมเป็นสถานะบริสุทธิ์ในระบบที่ใหญ่กว่าเดิม ในตัวอย่างนี้คือจากหนึ่งเป็นสองควอนตัมบิต — purification ในทางคณิตศาสตร์จะทำได้เสมอ ถึงแม้ในความเป็นจริงอาจจะไม่มีระบบที่มาขยายระบบฟิสิกส์ที่เราสนใจได้ ซึ่งด้วยความหมายในทางศาสนาว่าการชำระล้างบาป ความเชื่อว่าเมื่อไรที่เราอธิบายระบบด้วยสถานะผสมแปลว่าจริงๆแล้วมันต้องเป็นส่วนหนึ่งของระบบที่ใหญ่กว่าในสถานะบริสุทธิ์จึงเป็นของ “คริสตจักรของ Hilbert space ที่ใหญ่กว่า” [ุ6]  (สำหรับเวกเตอร์สเปซที่มิติมีขอบเขต (finite) Hilbert space ก็แค่เวกเตอร์สเปซที่มี inner product)

Purification ของพระแม่มาโดกะรี

 

คำตอบของคำถามที่สองคือยิ่ง A มีซัพพอร์ต (ซับสเปซที่ ρA ไม่เป็น 0) มากก็ยิ่งมีสถานะที่ขยายได้จำนวนมากขึ้น และทุกๆสถานะที่ขยายจาก A เกี่ยวข้องกันโดย unitary บนควอนตัมบิตของ B นั่นหมายความว่า B สามารถเลือกสถานะที่ A มีโอกาสจะวัดได้ได้ตามใจชอบโดยไม่แตะต้องระบบของ A เลย! [ุ6] แต่ไม่ว่า B จะทำอะไรก็ตาม Marginal ของ A ก็คงเดิมเสมอ เราจึงเห็นว่าทำไมการส่งสัญญาณเร็วกว่าแสงด้วยคู่เอนแทงเกิลคู่เดียวจึงเป็นไปไม่ได้

การตีความสถานะผสมเป็นสถานะของความรู้ที่เราไม่รู้ว่าจริงๆมีสถานะบริสุทธิ์ไหนกันแน่ และเป็นสถานะของระบบย่อยที่สัมพันธ์กับระบบอื่นเป็นการตีความเดียวกันถ้าเรานับถือคริสตจักรของ Hilbert space ที่ใหญ่กว่า เพราะความไม่รู้ของเราคือไม่รู้ว่าสถานะนั้นถูกเตรียมมาอย่างไร แต่เราสามารถรู้การเตรียมโดยการขยายจากระบบที่เราสนใจอย่างเดียวมาเป็นระบบร่วมของระบบที่เราสนใจกับทุกๆส่วนของระบบที่ทำการเตรียมนั้นได้ก็จะมีสถานะบริสุทธิ์ในที่สุด

อีกปรากฎการณ์หนึ่งที่พอจะสังเกตได้ก็คือถ้าสถานะที่เรามีบริสุทธิ์อยู่แล้ว ระบบนั้นก็จะไม่สามารถมีความสัมพันธ์กับระบบอื่นได้ นี่เป็นกรณีพิเศษของความสัมพันธ์ที่เรียกได้ว่า “รักเดียวใจเดียวของเอนแทงเกิลเมนต์” (monogamy of entanglement) กล่าวคือถ้าระบบย่อยมีการผสมมาก ระบบรวมก็สามารถอยู่ในสถานะเอนแทงเกิลที่มากขึ้นได้ แต่ในทางกลับกันหากระบบย่อยมีความบริสุทธิ์มาก ระบบรวมก็เอนแทงเกิลได้น้อยลง

มีเรื่องอีกมากมายเกี่ยวกับสถานะผสมและเอนแทงเกิลที่จะเล่าได้ แต่ในโพสท์นี้คงจะต้องหยุดแค่นี้ก่อนเพราะถึงเวลาที่ไปต่อและพูดถึงการ purify ไม่ใช่สถานะแต่เป็นกระบวนการในโพสท์ต่อไป โดยเฉพาะ “การวัด” และ “collapse” ของสถานะควอนตัมสามารถ purify ไปเป็นการแปลง unitary ที่เราคุ้นเคยบนระบบที่ใหญ่กว่าได้

อรรถาธิบาย

[1] Benjamin Schumacher และ Michael Westmoreland, “9.6 Information and open systems” หน้า 196-197 ใน Quantum Processes, Systems & Information (2010)

[2] เหตุผลก็คือมันเป็น irreducible representation 1 มิติ (= ไม่มีโมเมนตัมเชิงมุม) ของ SU(2) จึงไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ unitary ในรูป U⊗U (สมบัตินี้ถูกใช้ในการรักษาข้อมูลควอนตัมแบบ passive) เมื่อมันเป็น eigenvector ของการวัด anti-correlation การวัดหนึ่งมันก็เลยเป็น eigenvector ของการวัด anti-correlation ทั้งหมด

คำถามหนึ่งที่น่าสนใจก็คือมีสถานะของ 2 ควอนตัมบิตที่เมื่อ A และ B ทำการวัดอย่างเดียวกันแล้วได้ค่าเหมือนกันเสมอหรือเปล่า? คำตอบคือไม่มี และพิสูจน์ได้ง่ายด้วย stabilizer formalism; ดูคำตอบของ Frédéric Grosshans ในกระทู้ Why are there only perfectly anti-correlated quantum states, not perfectly correlated?

[3] เราจะรู้ได้อย่างไรว่าเมทริกซ์เป็น density matrix ถ้าเราไม่รู้ว่ามันเป็น convex combination ของเมทริกซ์ฉายหรือไม่? อีกวิธีในการจำแนกก็คือ density matrix คือเมทริกซ์ของจำนวนเชิงซ้อน ρ เมทริกซ์ใดก็ตามที่ “เป็นบวก” นั่นคือ \langle \psi|\rho|\psi \rangle \ge 0 สำหรับทุกๆเวกเตอร์ |\psi \rangle  และเทรซมีค่าเป็น 1. (Density matrix นั้น Hermitian เสมอ แต่ในเวกเตอร์สเปซของจำนวนเชิงซ้อน, ความเป็นบวก implies Hermiticity โดยอัติโนมัติ วิธีพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดน่าจะเป็นการเขียน ρ = A + iB โดยที่ทั้ง A และ B Hermitian จากนั้นใช้ความเป็นบวกกับสมบัติของเมทริกซ์ Hermitian) เงื่อนไขเหล่านี้คือสิ่งที่ Andrew Gleason derived ในทฤษฎีบทของเขา

P = \mbox{Tr} (E\rho)

นั่นเอง

[4] Michael Nielsen และ Isaac Chuang, “Box 2.6: Why the partial trace?” หน้า 107 ใน Quantum Computation and Quantum Information (2000)

[5] สำหรับถ้อยคำที่แม่นยำ, บทพิสูจน์และประวัติศาสตร์ของทฤษฎีบทนี้ที่ถูกค้นพบโดย Schrödinger และถูกค้นพบซ้ำๆอีกหลายครั้งในเวลาต่อมา อ่าน K. A. Kirkpatrick, “The Schrödinger-HJW Theorem” (2006) 

[6] ถ้าเราคิดว่าสถานะควอนตัมแทนสถานะของความรู้ของเราและไม่ได้มีอยู่จริงในโลกกายภาพ เราก็ไม่จำเป็นต้อง purify และนับถือคริสตจักรของ Hilbert space ที่เล็กกว่าแทน (พร้อมบัญญัติ 10 ประการ)

[7] ปรากฎการณ์นี้เรียกว่า steering: Howard Wiseman, Steve Jones และ Andrew Doherty, “Steering, entanglement, nonlocality, and the Einstein-Podolsky Rosen paradox” (2007) และ “Entanglement, EPR-correlations, Bell-non-locality and Steering” (2007)