Functional Analysis หลัง Hilbert Space

เรากำลังรวบรวมแหล่งข้อมูลเกี่ยวกับรายละเอียดต่างๆของทฤษฎีควอนตัมอยู่

ช่วงที่เราเรียนทฤษฎีควอนตัมใหม่ๆ (ตั้งแต่ 2008-09 นู่น) ก็จะเจอวัตถุทางคณิตศาสตร์อย่าง Hilbert space หรือ  linear operator ที่ไม่เคยได้ยินมาก่อนในฟิสิกส์ตัวอื่นๆ ก็เลยไปหาอ่านหนังสือคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์ที่มีเรื่องพวกนี้ (ในชื่อ “functional analysis”) แต่ก็ไปได้ไม่ไกลเท่าไร กลับกันสงสัยว่ามันน่ารู้จริงๆเหรอเพราะถ้ารู้จัก counterexample ใน infinite-dimensional vector space สักหน่อยแล้วก็ดูเหมือนว่าแค่พีชคณิตเชิงเส้นธรรมดาก็เพียงพอที่ทำให้เราเข้าใจคอนเซปต์ทฤษฎีควอนตัมที่เคยเรียนได้แล้วและไม่ได้นำไปสู่สิ่งใหม่ๆ…

ปัจจุบันหลังจากเรียนทฤษฎีสารสนเทศและทัศนศาสตร์ควอนตัมและวิจัยเกี่ยวกับ quasi-probability หรือ phase space representations กับการจำลองบางส่วนของทฤษฎีควอนตัมบนคอมพิวเตอร์ดั้งเดิมก็ทำให้รู้ว่าสิ่งที่ขาดหายไปและอยากให้มีก็คือคณิตศาสตร์ของความสัมพันธ์ระหว่างระบบควอนตัม, ระบบเปิด, การวัด, การสูญเสียอาพันธ์ (decoherence), Fock space และสถานะอาพันธ์ (coherent state ซึ่งเป็นชื่อที่ทำให้สับสนเพราะการสูญเสียอาพันธ์นำไปสู่สถานะอาพันธ์ได้) และ quantization เป็นต้น ซึ่งเป็น functional analysis “หลัง Hilbert space”

Functional analysis หลัง Hilbert space

ที่เราเรียกแบบนี้เพราะหลังจาก von Neumann (ไม่ใช่ Hilbert [1]) คิดคณิตศาสตร์ของ Hilbert space เพื่อที่จะ formulate ทฤษฎีควอนตัมไม่นานเขาก็สารภาพว่า

I would like to make a confession which may seem immoral: I do not believe in Hilbert space anymore.

และพัฒนาทฤษฎี ring ของ operators ซึ่ง motivate C*-algebra กับทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงพีชคณิต ต่อมาเขายังพัฒนา quantum logic ที่นำไปสู่ผลอย่างทฤษฎีบทของ Gleason [2] และ notion ของ POVM ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงพีชคณิตยังนำไปสู่ notion ของ “operation” ที่กลายไปเป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีควอนตัมเชิงปฏิบัติการ (operational) [3] (ที่มี POVM เหมือนกันแต่ในนามของ “effect”)

ส่วนตัวเราคิดว่าสิ่งสำคัญที่คณิตศาสตร์นี้ให้กำเนิดมาก็คือ หนึ่ง ภาษาที่ใช้พูดถึงทฤษฎีควอนตัมและทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ในเวลาเดียวกันซึ่งทำให้คิดถึงความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสองทฤษฎีได้ง่ายขึ้น และสอง การคิดถึงทฤษฎีควอนตัมในเชิงปฏิบัติการที่สิ่งที่ปรากฎในทฤษฏีจะต้องขึ้นกับสิ่งที่กระทำได้

เราใช้คำว่า “ความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสองทฤษฎี” ในข้อแรกในความหมายที่กว้าง อาจหมายถึงโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีก็ได้หรือการโมเดลโลกทางกายภาพก็ได้ ว่าเมื่อไรเราจะใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อไรเราจะใช้ทฤษฎีควอนตัม จึงจะได้โมเดลที่แม่นยำ quantization และ dequantization เป็นตัวอย่างของข้อแรก การสูญเสียอาพันธ์เป็นตัวอย่างของข้อหลัง ในทฤษฎีข้อมูลควอนตัมเราอาจจะมี hybrid ของระบบควอนตัมและดั้งเดิม (ระบบควอนตัมที่สมมติว่าสูญเสียอาพันธ์ไปแล้ว)

ในการ formulate ทฤษฎีในเชิงปฏิบัติการ สิ่งที่ปรากฎในทฤษฏีจะต้องขึ้นกับสิ่งที่กระทำได้ เช่น แทนที่จะนิยามสถานะควอนตัมเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์อย่างเวกเตอร์หรือเมทริกซ์ก็นิยามเป็น equivalence class ของการเตรียมที่ให้สถิติเหมือนกันจากการวัดใดๆก็ตามแทน ฟิสิกส์มักจะไม่ถูกนำเสนอในวิธีนี้ เรามักจะถือว่าฟิสิกส์บอกเราเกี่ยวกับความจริงที่ไม่ขึ้นกับว่าใครจะทำอะไรได้ แต่ปัญหาที่เกิดขึ้นจากการตีความทฤษฎีควอนตัมทำให้การมองทฤษฎีควอนตัมในเชิงปฏิบัติการเป็นที่นิยมมากขึ้น สิ่งที่เราทำได้หรือไม่ได้ไม่ได้ขึ้นเป็น axioms ที่ต้องกำหนดขึ้นและไม่ได้ขึ้นกับคณิตศาสตร์โดยตรง เราเลยแยกประเด็นนี้ออกจากประเด็นด้านบน

Operations และ POVMs เป็น convex set ซึ่ง convex combination นอกจากจะมีความหมายเชิงปฏิบัติการเป็นความไม่แน่นอนของการแปลงหรือการวัดแล้วยังทำให้ optimize อะไรๆได้ง่ายขึ้น ด้วยสาเหตุนี้ทำให้มันเป็นเครื่องมือที่สำคัญในระบบเปิด, การวัดและทฤษฎีสารสนเทศเชิงควอนตัม สารสนเทศควอนตัมมักพูดถึงตรงนี้ในบริบทของ finite-dimensional vector space จึงไม่จำเป็นต้องยก C*-algebra ขึ้นมาโดยตรง แต่มันซ่อนอยู่เสมออย่างเช่นทฤษฎีบท Stinespring ที่สำคัญมากสำหรับระบบเปิดเชิงควอนตัม implies GNS construction ใน C*-algebra ซึ่งเท่ากับ purification ของสถานะผสม (โดยคิดว่าสถานะควอนตัมซึ่งเป็นแค่ linear functional เป็น quantum operation ไปยัง ) คำถามที่น่าสนใจก็คือเมื่อไรที่สิ่งที่เรารู้จาก finite dimensions ไม่เป็นจริงใน infinite dimension (ซึ่ง infinities ก็มีหลายชนิด) Tobias Osborne ชี้ไปยังเปเปอร์ Infinitely entangled states เป็นตัวอย่างซึ่งเรายังไม่ได้อ่าน

แหล่งข้อมูล

ตัวอย่างของโน๊ตสารสนเทศเชิงควอนตัมมี Werner, Keyl, Heinosaari และ Ziman, Watrous, Bény และ Richter, Wolf (ในลิงค์ “Quantum channels”) หนังสือที่ใหม่หน่อย (1990 ขึ้น) ก็มี: Peres,  Busch, Grabowski และ Lahti, Busch, Lahti และ Mittelstaedt, de Muynck, Nielsen และ Chuang, Bengtsson และ Zyczkowski, Schumacher และ Westmoreland โน๊ตข้างต้นบางอันก็ตีพิมพ์เป็นบทในหนังสือหรือเป็นเล่มเดี่ยวเลย

Caves มีโน๊ต “Superoperators and completely positive maps” และ “Completely positive maps, positive maps, and the Lindblad form” ซึ่งบอกว่าสมการ Lindblad เป็น CP map ในรูปสมการอนุพันธ์ (ที่ stochastic) Holevo เอ่ยถึง C*-algebra มากกว่าโน๊ตและหนังสือทั้งหมดด้านบนและไปไกลถึง Fock space และ stochastic differential equations.

N. P. Landsman เขียนโน๊ต C*-algebra และ”Between classical and quantum” ที่น่าสนใจมากเพราะโยง quantization, POVM และการสูญเสียอาพันธ์เข้าด้วยกัน

การสูญเสียอาพันธ์มีบทความใน Physics Today ของ Zurek กับเปเปอร์กับหนังสือรีวิวของ Schlosshauer

การค้นหา axioms ของทฤษฎีควอนตัมยังได้รับอิทธิพลสวนกลับจากทฤษฎีสารสนเทศควอนตัมนำไปสู่  generalized probability theories หรือ convex-operational approach ที่ได้รับประโยชน์จากการค้นพบของ quantum logician รุ่นก่อนๆ

[1] จากโน๊ต N.P. Landsman, “Lecture Notes on Hilbert Spaces and Quantum Mechanics” ↩

[2] Fred Kronz และ Tracy Lupher, “Quantum Theory: von Neumann vs Dirac” Alexander Wilce, “Quantum Logic and Probability Theory” ↩

[3] Karl Kraus, States, Effects and Operations (1983) ↩