แตกเวกเตอร์ด้วยการคูณด้วยหนึ่ง

ONB (Orthonormal basis) \{|e_i\rangle \} ช่วยให้เราแตกเวกเตอร์ได้ง่ายๆ เทคนิคหนึ่งที่คนเรียนควอนตัมจะคุ้นเคยก็คือการเขียนเมทริกซ์เอกลักษณ์ \hat{1} ในรูป

\hat{1}=\sum_i |e_i \rangle \langle e_i|

เรียกว่า completeness หรือ closure relation (แต่ไม่เกี่ยวกับความสมบูรณ์ของปริภูมิ Hilbert)  แล้วเวลาจะแตกเวกเตอร์อะไรเราก็แค่คูณหนึ่งเข้าไป

|u\rangle  = \hat{1} |u\rangle =  \sum_i  \langle e_i|u\rangle |e_i \rangle

ทริคนี้ที่เรียกกันว่า “insert the identity” ยังใช้ในการเขียนทฤษฎีควอนตัมในรูป path integral ของ Feynman อีกด้วย

คำถามก็คือเมื่อไรบ้างที่เราสามารถแตกเวกเตอร์ด้วยทริคนี้ได้? เคสหนึ่งที่เช็คได้ง่ายก็คือความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นจริงเสมอไปสำหรับฐานที่ไม่ตั้งฉากกัน แต่ก็มีตัวอย่างของ spanning set ที่ไม่ใช่ฐาน(เพราะมันมีจำนวนมากเกินไป ซึ่งทำให้ไม่ตั้งฉากกันด้วย) คือสถานะอาพันธ์ (coherent states) ในทฤษฎีควอนตัม เหตุผลมาจาก representation theory ซึ่งถ้าใครไม่สันทัดก็ข้ามได้

กำหนดให้ |0\rangle เป็นเวกเตอร์ใน V และให้ U(g) เป็น irrep ใน V ของกรุ๊ป G

|g\rangle = U(g)|0\rangle

เป็น generalization ของสถานะอาพันธ์(ที่มี Heisenberg group เป็น G) เราต้องการแสดง (ถ้า G มี measure dg ที่เหมาะสมกับการใช้อินติเกรตได้) ว่า

J:=\int dg |g\rangle \langle g| = \int dg U(g) |0\rangle \langle 0|U^{\dagger}(g)

เป็นสัดส่วนกับ \hat{1}

สังเกตว่า J อยู่ใน HomG(V,V) เพราะ J commutes กับทุกๆ U(g) Schur’s lemma บอก (ใน algebraicly closed field เช่นจำนวนเชิงซ้อน) ว่าถ้า U(g) เป็น irrep แล้ว HomG(V,V) จะเป็นปริภูมิหนึ่งมิติ ทุกอย่างใน HomG(V,V) จะเป็นสัดส่วนกับ \hat{1}

พอมาคิดดูแล้วก็น่าสนใจว่านี่ไม่ใช่เหตุของ completeness relation ของ ONB เพราะกรุ๊ปที่สับเปลี่ยนเวกเตอร์ฐานใน ONB เป็น abelian group (เช่น Pauli X สำหรับ Z basis) จึงไม่มีทางมี irrep ในมิติของปริภูมิที่มากกว่าหนึ่งได้ (ซึ่งก็สาเหตุมาจาก Schur’s lemma เช่นกันเพราะทุกๆ U(g) ของ abelian group อยู่ใน HomG(V,V))

ผมจะลองตอบคำถามนี้ในมิติ d<\infty

Tight frames

การที่เวกเตอร์จะมารวมกันเป็นเอกลักษณ์ในทั้งปริภูมิเวกเตอร์ได้อย่างน้อยมันจะต้องแผ่ทั่วปริภูมิ

เซตของเวกเตอร์ \{|\phi_i\rangle \} ใน V เป็นเฟรม (frame) ของ V ก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง 0<a\le b เรียกว่า frame bounds และ

a\langle u|u\rangle \le \sum_i |\langle \phi_i|u\rangle |^2 \le b\langle u|u\rangle

สำหรับทุกๆ u ใน V ลองจ้องมันดูจะพบว่าเฟรมก็คือ spanning set นั่นเอง ถ้า \{|\phi_i\rangle \} ไม่แผ่ทั่วก็จะมีเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทุกๆ |e_i\rangle อยู่ frame bound ก็จะเท่ากับศูนย์ ขัดแย้งกับนิยาม

นี่เป็นการ relax Parseval’s identity (เมื่อ a=b=1) ถ้านิยาม frame operator F = \sum_i |\phi_i\rangle \langle \phi_i| เงื่อนไขข้างต้นก็จะกลายเป็น [1]

a\hat{1} \le F \le b\hat{1}

เฟรมที่ frame bound ทั้งจากข้างล่างและข้างบนเท่ากันเท่านั้นที่จะให้ F = a\hat{1} ตามที่ต้องการ เฟรมประเภทนี้เรียกว่า tight frame

ในครั้งหน้าเราจะพูดถึงการแปลงเฟรมที่มีอยู่ให้เป็น tight frame

คำถามปลายเปิด

เกิดอะไรขึ้นได้บ้างใน d=\infty ธีสิสของ Joseph Renes บอกว่ามี spanning set ที่มี frame bound เป็นศูนย์ ผมไม่รู้ด้วยซ้ำว่าการแผ่ทั่วใน d=\infty แปลว่าอะไร ใครรู้ช่วยบอกหน่อย


 

[1] นี่ไม่ได้หมายความว่า F เป็นสัดส่วนกับ \hat{1} มันหมายความแค่ว่า F - a\hat{1} เป็น positive semidefinite matrix ตัวอย่างหนึ่งก็คือ |0\rangle ,|1\rangle ,|0\rangle + |1\rangle ในสองมิติ ถ้าให้ a=1

F-\hat{1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) = \hat{1} + X

ซึ่งเป็นสองเท่าของ ODOP และไม่ใช่เอกลักษณ์