เหตุผลก็คือใน 3 มิติขึ้นไปเมทริกซ์เอกลักษณ์สามารถแตกเป็นการวัดได้จำนวนนับไม่ถ้วนเพราะเราสามารถหมุนเบสิสได้อย่างอิสระ I = E1+E2+E3, I = E1+E4+E5 ,… โดยคงเมทริกซ์เดิม (ในที่นี้ E1) ในทุกๆการแตกได้ อิสระของการแตกเมทริกซ์เอกลักษณ์บวกกับข้อแม้ว่า P ของผลของการวัดที่ 1 ไม่สามารถขึ้นกับ Ej ≠ 1ได้จำกัดรูปแบบที่เป็นไปได้ของ P ให้เป็นกฎความน่าจะเป็นในควอนตัม ในขณะที่ในสองมิติถ้าเราจะใช้ E ในการแตก I ส่วนที่เหลือของ I ก็ต้องเป็น I-E เท่านั้น เป็นอย่างอื่นไม่ได้ เพราะฉะนั้นถึงแม้ว่าจะมีสองเวกเตอร์ที่ใกล้กันแค่ไหน กฎของความน่าจะเป็นในสองทิศทางนั้นก็ไม่จำเป็นต้องมีความสัมพันธ์กันก็ได้

Counterexample: ถ้าเราคิดถึงเวกเตอร์ของจำนวนจริงที่หมุนใน 2 มิติ (ทฤษฎีบทของ Gleason ใช้ได้ทั้งกับเวกเตอร์ของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) กำหนดให้ฟังก์ชัน Q(θ) นิยามบนช่วง 0 ≤ θ < π/2 มีค่าใดๆก็ได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1 เราสามารถนิยาม P(θ)ให้เป็น Q(θ) เมื่อ 0 ≤ θ < π/2, ให้เป็น 1 – Q(θ – π/2) เมื่อ π/2 ≤ θ < π ก็จะได้ความน่าจะเป็นในช่วง 0 ≤ θ < π ทีเหลืออีก π ก็นิยาม P จาก Q ให้เป็นความน่าจะเป็นในทำนองเดียวกัน [1] ก็จะได้ฟังก์ชันที่ให้ความน่าจะเป็นที่ไม่จำเป็นจะต้องต่อเนื่อง (continuous) หรือมีอนุพันธ์ (differentiable) ซึ่งไม่ใช่กฎความน่าจะเป็นของทฤษฎีควอนตัม

แต่ไม่ต้องกังวล ถ้าเราไม่ด่วนเพิกเฉย “การวัดที่สับสนระหว่างผลการวัดที่แตกต่างกันได้” ที่พูดผ่านๆไปในตอนที่แล้ว และกำหนดแค่ว่า E ต้อง “เป็นบวก” และรวมกันได้เมทริกซ์เอกลักษณ์เฉยๆ เราจะสามารถพิสูจน์กฏความน่าจะเป็นของควอนตัมใน 2 มิติได้ [2] เมทริกซ์ E เป็นบวกถ้าหาก

\langle \psi|E|\psi \rangle \ge 0

สำหรับทุกๆเวกเตอร์ |\psi \rangle แม้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นดั้งเดิมที่ P(λ) มีแต่จำนวนบวกเราก็ต้องการ P(E|λ) ที่เป็นบวกเพื่อป้องกันไม่ให้ได้ความน่าจะเป็นที่ติดลบออกมา การวัดแบบนี้ในทฤษฎีควอนตัมเรียกว่า “positive-operator valued measure” หรือ POVM ซึ่งหลากหลายกว่าการวัดแบบฉายทำให้พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Gleason ได้ง่ายกว่า

ไอเดียก็คือจากความอิสระในการเลือก POVM เราสามารถขยายฟังก์ชัน P ไปเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นในเวกเตอร์สเปซของเมทริกซ์ได้ (ไม่ใช่เฉพาะของ E) และทุกคนรู้ว่าฟังก์ชันเชิงเส้นจากเวกเตอร์สเปซไปยังจำนวนจริงเขียนได้ในรูปของ inner product เมื่อเวกเตอร์ของเราเป็นเมทริกซ์ก็ใช้เทรซ (trace) ได้

P = \mbox{Tr}(E\rho)

นั่นคือ Gleason พิสูจน์ว่าจะต้องมีเมทริกซ์ ρ ซึ่งให้ความน่าจะเป็นที่ต้องการออกมาในรูปของ inner product ข้างต้น เมทริกซ์นี้รู้จักกันในชื่อว่า density matrix และเป็นตัวแสดงนำในโพสท์ต่อไปในเรื่องเอนแทงเกิลเมนต์

อรรถาธิบาย

[1] K. R. Parthasarathy, An Introduction to Quantum Stochastic Calculus
[2] Paul Busch, “Quantum states and generalized observables: a simple proof of Gleason’s theorem” (2003), Carlton Caves, Christopher Fuchs, Kiran Menne และ Joseph Renes, “Gleason-Type Derivations of the Quantum Probability Rule for Generalized Measurements” (2003)